Les transformations du plan

Commençons par étudier les tranformations qui préservent les distances et les angles.

La translation

Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan, la translation T de vecteur $\vec{u}$ associe à tout point M du plan le point tel que $\vect{MM'} = \vec{u}$ . La composition de deux translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est la translation de vecteur $\vec{u} + \vec{v}$ , elle ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue les deux translations. Une translation envoie une droite sur une droite parallèle.

La symétrie centrale

La symétrie centrale est une autre transformation simple. La symétrie centrale de centre O envoie M sur le point tel que $\vect{OM'} = - \vect{OM}$ . Il s'agit également d'une rotation d'angle $\pi$ .
La composée d'une translation et d'une symétrie centrale est une symétrie centrale. Soit s une symétrie de centre O et une symétrie de centre , alors la tranformation $s' \circ s$ est une translation de vecteur $2\vect{OO'}$ .

La rotation

La rotation de centre O et d'angle $\a$ associe à tout point M du plan un point tel que et $\ang {MOM'} = \a$ (angle orienté). Attention, si on remplace $\a$ par $- \a$ on applique la rotation inverse de la rotation voulue. Si $\a = 0$ , la rotation est l'identité. Si $\a = \pi$ , c'est une symétrie centrale.

La symétrie axiale

Pour ne pas la confondre avec la symétrie centrale on l'appelle également réflexion. Soit D une droite, la réflexion d'axe D associe à tout point M du plan le point tel que $\vect{MM'}$ soit perpendiculaire à D et que le milieu de appartiennent à la droite D.
La composée de deux réflexions est une translation si les axes sont parallèles, une rotation sinon. Si $\a$ est l'angle entre les axes D et des réflexions s et , alors la composée $s' \circ s$ est une rotation d'angle $2 \a$ et dont le centre est le point d'intersection des droites D et .

L'homothétie

L'homothétie est une transformation qui ne conserve pas les distances. L'homothétie de centre O et de rapport $\l$ associe à tout point M du plan le point tel que $\vect{OM'} = \l \vect{OM}$ . Si $\l = -1$ on retrouve la symétrie centrale. Une homothétie envoie une droite sur une droite qui lui est parallèle. Les seules droites invariantes sont celles qui passent par le centre de l'homothétie. Une homothétie conserve les angles et multiplie les longueurs par $\abs \l$ . Si $\vect{AB}$ est un vecteur du plan, son image $\vect{A'B'}$ vérifie $\vect{A'B'} = \l \vect{AB}$ . Une homothétie conserve donc les rapports de longueurs.
La composée de deux homothéties est soit une homothétie dont le rapport est le produit des rapports, soit une translation si le produit des rapports vaut .
Les homothéties sont très utiles lors de la résolution d'exercices dans le triangle (voir cercle d'Euler).

La similitude directe

La similitude directe de centre O, de rapport $\l$ et d'angle $\a$ est la composée de l'homothétie de centre O et de rapport $\l$ et de la rotation de centre O et d'angle $\a$ . Cette transformation conserve les angles et multiplie les longueurs par $\abs \l$ .
On peut considérer toutes les transformations précédentes à l'exception de la symétrie centrale comme des similitudes: une translation est une similitude de rapport dont le centre est situé à l'infini, une rotation est une similitude de rapport , et une homothétie est une similitude d'angle nul. Alors la composée de deux similitudes directes est une similitude.
L'image d'un triangle par une similitude est un triangle dont les angles sont les mêmes et dans le même ordre autour du triangle. Il y a trois critères pout dire que deux triangles sont semblables: soit montrer que leurs angles sont égaux, soit montrer que le rapport des longueurs des côtés est le même, soit trouver une similitude directe qui envoie les sommets de l'un sur les sommets de l'autre.

Problèmes

Exercice. Soient $\G$ un cercle et D une droite donnés, construire une droite parallèle à D coupant le cercle $\G$ en deux points situés à une distance a donnée.

Exercice. Etant donné un polygone à n côtés on peut considérer les milieux $M_1, \ldots , M_n$ des côtés. Inversement si les points $M_1, \ldots , M_n$ sont donnés, existe-t-il un polygone dont les points sont les milieux des côtés (étudier les cas et , pour le cas général, distinguer entre n pair et impair) ?

Exercice. On considère trois droites parallèles . Construire un triangle équilatéral tel que les points appartiennent respectivement aux droites .

Exercice. Soient $\G$ et $\G'$ deux cercles, montrer qu'il existe deux homothéties transformant $\G$ en $\G'$ . Que dire si les rayons sont égaux?

Exercice. Soit ABC un triangle, construire à la règle et au compas un carré dont un sommet appartient au côté AB, un sommet au côté AC et deux sommets adjacents appartiennent au côté BC.

Exercice. Soit ABC un triangle isocèle en A, les points M et N sont pris sur les côtés AB et AC respectivement. Les droites et se coupent en P. Montrer que les droites et sont parallèles si et seulement si on a $\ang{APM} = \ang{APN}$ .

Exercice. Soit un triangle et un point du plan. On définit $A_s = A_{s-3}$ pour $s \ge 4$ . On construit une suite $P_1, P_2, P_3, \ldots$ de telle sorte que soit l'image de $P_{k-1}$ par la rotation de centre $A_{k+1}$ et d'angle $\frac {2\pi} 3$ . Montrer que si $P_{1986} = P_0$ , alors le triangle est équilatéral.

Exercice. Etant donnés trois cercles deux à deux disjoints. Tracer les trois points d'intersection des tangentes extérieures communes à chaque paire de cercles. Montrer que ces trois points sont alignés.

Exercice. Soit ABCD et deux cartes carrées de la même région tracées à différentes échelles et posées l'une sur l'autre. On suppose que la plus petite des deux est entièrement à l'intérieur de la grande. Montrer qu'il existe un unique point dont les représentations sur les deux cartes coïncident. En donner une construction à la règle et au compas.

Exercice. Soit ABC un triangle isocèle en A et $\G$ son cercle circonscrit. On note $\g$ le cercle tangent aux droites AB et AC et tangent à $\G$ intérieurement. On note les points de contact de $\g$ avec $AB, AC, \G$ respectivement. Enfin, $\o$ est le centre de $\g$ , J est le milieu de et K le milieu de .
Justifier l'égalité $\frac {AK} {AR} = \frac {AJ} {A\o}$ . En déduire que J est le centre du cercle inscrit à ABC.

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www.etteyeb-amor.com Dernière mise à jours le 05-08 -2005