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Lycée Tataouine              Devoir à la maison            4ème Math 2  et 4   Exercice 1 1)      Soit le nombre complexe  zo = . Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes zo  et . 2)      Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O,, on considère les points M et N d'affixes respectives  z et  , où z est un nombre complexe non nul. a-      Déterminer en fonction de z, l'affixe Z du barycentre G  des points M et N affectés respectivement des coefficients 2 et 1. b-      Déterminer l'affixe de G lorsque z = zo  Construire alors le point G (unité 2 cm) c-       Calculer z pour que l'affixe de G soit .         d-  Montrer que si  alors Z est réel. 3)      On pose z = r eia .  Montrer que les coordonnées (x,y) de G sont tels que : 4)      Déduire l'ensemble des points G quand M décrit le cercle  de centre O et de rayon. Exercice 2 Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O,.Soit D la droite d'équation :  x = 2 et A le point d'affixe 2. 1)    Vérifier que D est l'ensemble des points M d'affixe z tels que : . 2)    Soit j l'application de P\D dans P, qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d’affixe  . a- Montrer que z' est un nombre réel. b- Déterminer l'ensemble (G) des points M d'affixe z tel que z' = k   où  k Î IR \{2} 3)    a- Montrer que pour tout nombre complexe z    dont la partie réelle est différente de 2, on a : . c-       En déduire que  M de P\D, le point M'  est l'intersection de la médiatrice de [AM] avec l'axe  des abscisses. Exercice 3 1°/Soit la fonction définie sur  par .  Montrer que pour tout  on a : 0. 2°/Soit la suite définie sur IN par : =1 et pour tout nIN : =.     a- Montrer que pour tout nIN : Un > 0.          b- Montrer que est décroissante     c- En déduire que converge et trouver sa limite. 3°/ Soit () la suite définie sur IN par : = 1 et pour tout nIN on a :  .    a- Montrer que pour tout nIN* :     b- En déduire que pour tout nIN* :  , et calculer la limite de (Vn). 4°/a- Montrer que pour tout x : 2 . Déduire que pour tout x        b- Montrer que pour tout nIN* :  =.                                                                                                                                                                 5°/On pose pour tout nIN* = + +  ……+       a- Montrer que pour tout nIN* :       b- En déduire que () est convergente et calculer sa limite.