Démonstration de la conjecture d'Euler

 

Lemme Soit $ p=2 l+1$un nombre premier impair et $ a$un entier qui n'est pas divisible par $ p$. Pour $ 1\leq k \leq l$, soit $ r_k$le reste de la division de $ ka$par $ p$et soit $ \nu$le nombre de restes $ r_k>l$. Alors

$\displaystyle a^l \equiv (-1)^\nu \; (p) $

et en particulier, $ a$est un résidu quadratique modulo $ p$si et seulement si $ \nu$est pair.


Démonstration. Si $ a i\equiv \pm a j\;(p)$, alors comme $ a$est inversible modulo $ p$, nous avons $ i\equiv \pm j\; (p)$ce qui est impossible si $ i$et $ j$sont compris entre $ 1$et $ l$. Donc si nous posons

\begin{displaymath} s_i=\left\{ \begin{array}{cc} r_i & \mbox{si $1 \leq r_i \leq l$} \\ p-r_i & \mbox{si $l < r_i$} \end{array}\right. \end{displaymath}

les $ s_i$sont deux à deux distincts et compris entre $ 1$et $ l$. Puisque ils sont au nombre de $ l$, tout entier entre $ 1$et $ l$est égal à un $ s_j$. Nous avons

$\displaystyle r_1 r_2 \cdots r_l \equiv (-1)^\nu s_1 s_2 \cdots s_l \equiv (-1)^\nu l ! \; (p). $

De l'autre côté, nous avons

$\displaystyle r_1 r_2 \cdots r_l \equiv l ! a^l\; (p). $

Puisque $ l !$est inversible modulo $ p$, nous obtenons l'affirmation. La dernière partie résulte du lemme précédent.$ \surd$

Exemple 63   Prenons $ p=11$et donc $ l=5$. Dans le dessin suivant, nous calculons $ \nu$pour $ a$variant entre $ -5$et $ 5$. Par exemple, la ligne qui commence par le nombre $ 2$comporte $ l=5$points aux abscisses $ 2,4,6,8,10$. Le nombre de points qui se trouvent dans des intervalles `sous-lignés' est égal à $ \nu$. Donc $ \nu=3$et $ 2$est un non-résidu quadratique modulo $ 11$. Les résidus quadratiques modulo 13 sont $ -2,1,3,4,5$.


\begin{picture}(66,24)(0,-12) \put(0,0){\line(1,0){66}} \multiput(0,-11)(11,0){7... ...8){\makebox(0,0)[l]{$ -4 $}} \put(1,-10){\makebox(0,0)[l]{$ -5 $}} \end{picture}

Théorème [Conjecture d'Euler] Soit $ a$un entier non nul et $ p$un nombre premier impair. Le fait que $ a$soit résidu quadratique modulo $ p$ou non ne dépend que de la classe de $ p$modulo $ 4a$.


Démonstration. D'après le lemme et l'exemple qui le suit, il s'agit de compter le nombre $ \nu$de points $ ka$, $ 1\leq k \leq l$, qui se trouvent dans l'un quelconque des intervalles $ I_i=[ip/2, (i+1)p/2]$, où $ i$est impair et compris entre $ 1$et $ a$. En effet, le dernier point, $ la=(p-1) a/2$, se trouve dans l'intervalle $ [(a-1)p/2, ap/2]$. Supposons que $ p'=p+4a$et que $ \nu'$est le nombre de points correspondant (peu importe si $ p'$n'est pas premier). Alors le nombre d'intervalles $ I'_i$reste le même ($ =a$), mais le nombre de points $ ka$augmente de $ l'-l=2a$. Je dis que chacun des $ a$intervalles $ I'_i$comporte $ 2$points $ ka$de plus que l'intervalle $ I_i$correspondant. Ceci impliquera que $ \nu'-\nu$est pair et donc que $ (-1)^{\nu'}=(-1)^\nu$. Comparons en effet l'intervalle $ I_i$à l'intervalle $ I'_i$: nous avons

$\displaystyle I_i$

$\displaystyle =$

$\displaystyle [i \frac{p}{2}, (i+1) \frac{p}{2}]$

 

$\displaystyle I'_i$

$\displaystyle =$

$\displaystyle [i (\frac{p}{2}+2a), (i+1) (\frac{p}{2}+2a)]$

 

 

$\displaystyle =$

$\displaystyle [ i \frac{p}{2}+2ia, (i+1) \frac{p}{2}+2ia] \cup [ (i+1) \frac{p}{2}+2ia, (i+1) \frac{p}{2}+2ia+2a].$

 

L'intervalle $ I'_i$est donc obtenu à partir de $ I_i$par deux opérations : décalage de $ 2ia$et rajout d'un intervalle disjoint de longueur $ 2a$dont les extrémités ne sont pas multiples de $ a$. Or le décalage d'un multiple de $ a$laisse invariant le nombre de points $ ka$contenus dans l'intervalle, et le rajout d'un intervalle disjoint de longueur $ 2a$dont les extrémités ne sont pas multiples de $ a$rajoute $ 2$points $ ka$car tout intervalle de longueur $ 2a$dont les extrémités ne sont pas des multiples de $ a$comporte exactement $ 2$points $ ka$(par mise à l'échelle, on peut supposer que $ a=1$: tout intervalle de longueur $ 2$dont les extrémités ne sont pas entières comporte exactement $ 2$points entiers.)

 

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