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Les ensembles de nombres
Ce sont les nombres que l’on utilise pour compter.
L’ensemble des entiers naturels est noté N.
L’ensemble des entiers naturels non nuls est noté N*.
Opérations : Addition a+b toujours possible.
Soustraction a-b possible si b £ a.
Multiplication a´b toujours possible.
Division a : b possible si a multiple de b.
Inverse de a¹0 impossible sauf a=1.
Racine carrée de a possible si a carré parfait
Effectuer la division euclidienne de a par b,
c’est trouver deux entiers naturels q
et r avec r < b tels
que :
q est le quotient et r
le reste.
.
Critères de divisibilité par 2, 3 , 4, 5, 9, 10, 11, 25, 100
Un entier naturel est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6, ou 8.
Un entier naturel est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un entier naturel est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Un entier naturel est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.
Un entier naturel est divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.
Un entier naturel est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Un entier naturel est divisible par 10 s'il se termine par 0.
Un entier naturel est divisible par 11 si différence entre la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair est divisible par 11.
Un entier naturel est divisible par 25 s'il se termine par 00, 25, 75 ou 50.
Un entier naturel est divisible par 100 s'il se termine par 00.
Ce sont les entiers naturels et leurs opposés.
L’ensemble des entiers relatifs est noté z
L’ensemble des entiers relatifs non nuls est noté z*.
Opérations : Addition a+b toujours possible.
Soustraction a-b toujours possible.
Multiplication a´b toujours possible.
Inverse de a¹0 impossible sauf a = ±1.
Division a : b possible si a multiple de b.
Racine carrée de a possible si a carré parfait
Les puissances de 10 sont les nombres de la forme 10n où n est un entier relatif. Ce sont les nombres :
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme du produit d’un entier relatif par une puissance de 10.
Ex : 34,57=3457´10-2
L’ensemble des nombres décimaux est noté D.
Opérations : Addition a+b toujours possible.
Soustraction a-b toujours possible.
Multiplication a´b toujours possible.
Inverse de a¹0 pas toujours possible.
Division a : b pas toujours possible.
Racine carrée de a pas toujours possible.
Remarque : l’écriture précédente de 34,57 n’est pas unique en effet :
34,57 = 3457´10-2 34,57 = 345700´10-4 34,57 = 34570000´10-6
De même on peut écrire 34,57 = 3,457´101 = 0,003457´104.
L’écriture sous forme scientifique d’un nombre décimal non nul est celle sous la forme ± a ´ 10n, où a est un décimal compris entre 1 et 10
Ex : 0,0025 = 2,5´10-3 475 000 000 = 4,75´108
Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme du quotient d’un entier relatif par un entier naturel non nul.
L’ensemble des nombres rationnels est noté Q
Ex :
Opérations : Addition a+b toujours possible.
Soustraction a-b toujours possible.
Multiplication a´b toujours possible.
Inverse de a¹0 toujours possible.
Division a : b toujours possible si b ¹ 0.
Racine carrée de a pas toujours possible
Une fraction irréductible est un quotient de deux entiers qui ne peut pas se simplifier.
Pour ajouter deux fractions il faut les réduire au même dénominateur.
Diviser par une fraction c’est multiplier par la fraction inverse.
Si l’écriture d’un nombre rationnel est illimitée, elle est périodique.
Un nombre réel correspond à l’abscisse d’un point M sur un axe orienté.
Les nombres qui ne sont pas des rationnels sont des irrationnels (comme p par exemple), c’est à dire que ces nombres ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction.
Entre deux rationnels il y a toujours un irrationnel.
Entre deux irrationnels il y a toujours un rationnel.
L’ensemble des nombre réels est noté r.
L’ensemble des nombre réels non nuls est noté r*.
L’ensemble des nombre réels positifs est noté r+.
L’ensemble des nombre réels négatif est noté r-.
Opérations : Addition a+b toujours possible.
Soustraction a-b toujours possible.
Multiplication a´b toujours possible.
Division a : b toujours possible si b ¹ 0.
Inverse de a ¹ 0 toujours possible.
Racine carrée de a possible si a ³ 0
Remarque : En terminale vous rencontrerez l’ensemble des complexes qui permet le calcul des racines carrées des nombres négatifs.
6. Représentations graphiques.
Image sur un axe orienté de N
Image sur un axe orienté de Z
Les images sur un axe orienté D et Q sont impossibles à dessiner, car il y a des nombres "très serrés" et des trous "très sérrés"
Tout point d'un axe orienté correspond à un nombres réel doncr
On a la relation d’inclusion : N Ì Z Ì D Ì Q Ì r
Diagramme :
Addition : a + b a et b sont les termes de la somme.
a + b = b+ a l’addition est commutative.
(a+b)+c = a+(b+c) l’addition est associative.
a + 0 = 0 + a 0 est l’élément neutre.
Pour tout a, il existe b tel que a + b = b + a = 0,
on dit que b est l’opposé (le symétrique pour l'addition) de a,
on le note -a.
Multiplication : a ´ b a et b sont les facteurs du produit.
a ´ b= b´ a la multiplication est commutative.
(a´b)´c=a´(b´c) la multiplication est associative.
a ´ 1 = 1+´ a 1 est l’élément neutre.
Pour tout a non nul, il existe b tel que a ´ b = b ´ a = 1,
on dit que b est l’inverse (le symétrique pour la multiplication) de a,
on le note 1/a ou a-1.
Règle de priorité : En l’absence de parenthèses, la multiplication est prioritaire sur l’addition.
Règle de priorité : En l’absence de parenthèses, les puissances sont prioritaires sur multiplication et addition.
Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition :
Développer : c’est transformer un produit en somme.
Factoriser : c’est transformer une somme en produit.
Identités remarquables :
9. Factorisation d’un entier naturel non nul.
Un nombre premier est un nombre entier naturel qui a exactement deux diviseurs (1 et lui-même).
Les nombres premiers sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ;….
Il y en a une infinité.
Tout nombre entier naturel non nul peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers. A l’ordre des facteurs près ce produit est unique. Il est appelé décomposition en facteurs premiers.
Application à la réduction au même
dénominateur :
Application à la racine
carrée :
Curiosité
: un nombre parfait est un nombre égal à la somme de ses diviseurs sauf
lui-même.
Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6
et on a 6 = 1+ 2 + 3.
Trouver d’autres nombres parfaits…