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Olympiade 2004, Athènes, Grèce

10^e Championnat International des Jeux Mathématiques et Logiques
finale internationale, 2^e séance, 31 août 1996

Les 2 messages

Thomas a reçu un message, mais la machine défectueuse a omis une ou deux barres de chaque lettre de ce mot écrit en script:

Son correspondant, se rendant compte que sa machine mange certains mots, renvoie le même message à Thomas, en espérant que ce deuxième message complétera le premier... Hélas, le même mot est transmis ainsi:

Aidez Thomas à reconstituer ce mot.

Les émetteurs

Vous disposez d'émetteurs constitués d'une unité centrale et de 4 antennes (voir figure ci-contre). Ces émetteurs doivent être placés dans la zone quadrillée ci-dessous de façon que l'unité centrale coïncide parfaitement avec un carré du quadrillage. Les émetteurs doivent être entièrement contenus dans le quadrillage (y compris les antennes), et deux émetteurs ne doivent jamais se toucher (même par les antennes).

Combien pouvez-vous en placer, au maximum, dans la zone quadrillée? Dessinez-les.

Début catégorie C1

L'oeil du cyclope

Le petit Kevin a toujours peur de se tromper, aussi a-t-il toujours avec lui une table de multiplication.

Son frère Mathias aime lui poser des énigmes. Il a fabriqué un cache carré en carton, avec un trou au centre.

Le cache couvre exactement 9 cases de la table de multiplication, laissant un nombre lisible en son centre. Mathias annonce à Kevin qu'il a caché 8 nombres dont la somme est 288. Il lui demande alors quel est le nombre visible au centre du cache. Aide Kevin!

Labyrinthe

Je rentre les yeux bandés dans ce labyrinthe constitué de 4 fois 4 pièces disposées comme l'indique le plan. Sitôt franchie la première porte (qui donne dans la pièce J), je longe à tâtons le mur situé sur ma gauche, jusqu'à ce que je trouve une nouvelle porte. Je franchis alors cette porte, puis je longe aussitôt le mur situé à ma droite, jusqu'à ce que je trouve à nouveau une porte. Je franchis cette porte, et je longe ensuite le mur de gauche. Je continue ainsi, en longeant alternativement le mur de gauche et le mur de droite, le changement de côté s'effectuant à chaque franchissement d'une porte.
Écrivez la suite des pièces traversées depuis mon entrée dans le labyrinthe jusqu'à ma sortie du labyrinthe.

Début catégories C2 L1 L2 GP HC

Mélancolie

Le grand graveur Albrecht Dürer a prouvé ses connaissances arithmétiques dans une célèbre gravure intitulée Melencolia. En effet, dans un coin de l'oeuvre se trouve un carré magique d'ordre quatre... et, comble de raffinement, sur la dernière ligne apparaît le nombre 1514, qui est l'année de sa création! Vous pourrez vérifier que la somme des nombres sur les lignes, les colonnes et les deux diagonales, est toujours la même.
Vous pouvez faire aussi bien que Dürer en complétant à l'aide de tous les nombres compris entre 1 et 16 le carré magique ci-contre, différent, mais ayant la même somme magique.

Les dominos de Dominique

Le grand-père de Dominique est un baroudeur. Il a bourlingué autour du monde, et a, jadis, rapporté à Dominique un jeu de dominos très spécial. Ce jeu comporte en effet tous les nombres de points de 0 à 9. Hélas, le désordre dans la chambre de Dominique est tel que dans le jeu, il n'y a plus que les 15 dominos représentés ci-contre!

Mais ces quinze dominos sont cependant rangés dans une boîte rectangulaire comme dans le dessin ci-dessous, dans lequel le domino 4 - 1 est déjà placé.

Pouvez-vous indiquer comment ils sont disposés dans la boîte?
Vous représenterez par un trait la séparation entre deux dominos.

Labyrinthe numérique

Vous entrez dans ce labyrinthe à la case marquée 95, et vous devez en sortir à la case marquée 96.
On ne peut passer d'une case à une case immédiatement voisine (se touchant par un côté) que si les nombres marqués sur ces deux cases peuvent se diviser exactement par un même nombre autre que 1 (on peut dire que ces deux nombres sont deux multiples d'un même nombre).
Indiquez par un trait le chemin que vous devez suivre.

Quatre-vingt-dix-neuf

1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dans cette suite des neuf chiffres de 1 à 9, on peut obtenir différents nombres, juste en intercalant des signes d'addition.
Par exemple: 1234 + 567 + 89 = 1890,
ou bien 1 + 23 + 4 + 56 + 7 + 89 = 180
En intercalant uniquement des signes d'addition, obtenez un total de 99!
Vous écrirez les signes + sur le bulletin-réponse.

Palindrome d'un doute

Dans le film Tandem de Patrice Leconte, l'acteur Jean Rochefort observe le compteur kilométrique de sa voiture, 83 238, et dit que c'est un nombre palindrome: on peut le lire aussi bien de droite à gauche que de gauche à droite. Puis il remarque que le prochain nombre palindrome affiché par son compteur sera 83 338.
Dites-nous quel sera le septième après 83 338?

Maître Fibo se déchaîne

Maître Fibonacci soumit un jour à son ami forgeron le problème suivant.
Voici dix fragments de chaîne. Deux sont constitués d'un seul anneau, mais les autres comptent respectivement 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 et 55 anneaux. Je voudrais utiliser tous ces anneaux pour constituer plusieurs chaînes toutes de même longueur (ayant le même nombre d'anneaux), et ouvertes, c'est-à-dire non refermées en boucle.
Le forgeron met 1 minute pour ouvrir et refermer un anneau.
Combien lui faudra-t-il de temps, au minimum, pour répondre aux voeux de Maître Fibo?

Les années presque parfaites

1996 est une année presque parfaite, car l'un des nombres de 3 chiffres obtenus en supprimant l'un des chiffres de 1996 est un carré parfait. En effet, en enlevant l'un des 9, on obtient 196, qui est le carré de 14.
Avant 1996, combien y a-t-il eu d'années presque parfaites dans les années mille neuf cent?

Le damier en morceaux

[Damier 10 × 10]
Découpez ce damier en plusieurs morceaux de telle sorte que:

· chaque morceau soit constitué d'un nombre entier de cases

· les nombres de cases des morceaux soient tous différents

· le nombre de cases du plus grand morceau soit le plus petit possible.

Donnez la somme des nombres de cases du plus petit et du plus grand morceau.

Le grand enclos

Pour réaliser un enclos sur un quadrillage, on pose des carrés noirs sur les carrés du quadrillage, de façon à entourer un ou plusieurs carrés du quadrillage. Les carrés noirs de l'enclos peuvent se toucher par un côté ou par un sommet.
Avec 4 carrés noirs, on peut enclore au maximum 1 carré du quadrillage (figure 1).

Avec 6 carrés noirs, on peut enclore au maximum 2 carrés du quadrillage (figure 2).

Quel est le plus grand nombre n de carrés noirs, tels qu'avec ces n carrés noirs, il ne soit pas possible d'enclore n carrés du quadrillage?
Répondez 0 si vous pensez qu'un tel nombre n n'existe pas.

Les jacinthes de Jordi (coefficient 14)

On a demandé à Jordi Nié, le jardinier, de mettre en terre 6 oignons de jacinthe en respectant les conditions suivantes:

trois oignons quelconques pris parmi les six ne doivent jamais être alignés
parmi tous les triangles dont les trois sommets coïncident avec des oignons de jacinthe, on doit avoir le plus grand nombre possible de triangles rectangles.

Dites combien l'astucieux Jordi, qui n'est pas niais, a obtenu de triangles rectangles.

Problème à boire

Monsieur Sylvain Aibon fait la tournée de ses amis. Étant chez son cher Boissansoif (en B), il doit se rendre chez Meurdesoif (en M), mais se rappelle que passer chez Cuvédort (en C) ne le rallongerait que de 1996 pas. Entre ces trois demeures bénies des dieux, les routes sont droites et le triangle BMC est rectangle en C et a des côtés qui sont des nombres entiers de pas. Sachant que Sylvain n'a jamais marché plus de 10 000 pas, dites-nous combien de pas séparent les caves de Boissansoif et de Meuredesoif.

Le fond de la piscine

On veut recouvrir le fond d'une piscine avec des carrés de 50 cm de côté. Ces carrés sont soit blancs, soit bleus, mais il n'y en a pas le même nombre de chaque couleur.
La piscine est rectangulaire, mais non carrée. Tous les carrés d'une couleur constituent un rectangle centré, les carrés de l'autre couleur formant une bordure de largeur constante autour de lui. Tous les carrés sont entiers, et le fond est entièrement recouvert.

En utilisant exactement les mêmes carrés, on peut mettre les carrés bleus au centre et les carrés blancs autour, ou l'inverse!
Quelle est, au minimum, l'aire du fond de cette piscine, exprimée en dm²?

Olympiade 2003, Tokyo, Japon haut du page

Problème 1

Soit A un sous-ensemble de l'ensemble $S=\{1,2,\ldots,1000000\}$ ayant exactement éléments. Montrer qu'il existe des nombres $t_1,t_2,\ldots,t_{100}$ dans S, tels que les ensembles :

$A_j=\{x+t_j \mid x\in A\}\text{ pour }j=1,2,\ldots,100$

soient deux à deux disjoints.

Problème 2

Trouver tous les couples d'entiers strictement positifs tels que :

$\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}$

soit un entier strictement positif.

Problème 3

On se donne un hexagone convexe dans lesquels deux côtés opposés quelconques ont la propriété suivante : la distance entre leurs milieux est $\sqrt{3}/2$ fois la somme de leurs longueurs. Montrer que tous les angles de cet hexagone sont égaux.

(Un hexagone convexe ABCDEF a trois paires de côtés opposés : AB et DE, BC et EF, CD et FA.)

Problème 4

ABCD est un quadrilatère convexe, inscriptible. Soient P, Q et R les pieds des perpendiculaires issues de D, respectivement, sur les côtés BC, CA et AB. Montrer que si et seulement si les bissectrices des angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ADC}$ se coupent sur AC.

Problème 5

Soit n un entier strictement positif et $x_1,x_2,\ldots,x_n$ des nombres réels tels que $x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_n$ .

· (a) Montrer que

$\left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \abs{x_i-x_j} \right)^2 \leq \frac{2(n^2-1)}{3} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left(x_i-x_j\right)^2$

· (b) Montrer qu'il y a égalité si et seulement si $x_1,x_2,\ldots,x_n$ est une suite arithmétique.

Problème 6

Soit p un nombre premier. Montrer qu'il existe un nombre premier q tel que pour tout entier n, le nombre n'est pas divisble par q.

Olympiade 2004, Athènes, Grèce haut du page

Problème 1

Soit un triangle ABC dont tous les angles sont aigus et dans lequel $AB \neq AC$ . Le cercle de diamètre rencontre les côtés et respectivement en M et N. On note O le milieu du côté . Les bissectrices des angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{MON}$ se coupent en R. Montrer que les cercles circonscrits aux triangles BMR et CNR se rencontrent en un point du côté .

Problème 2

Trouver tous les pôlynomes à coefficients réels qui vérifient l'égalité :
$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$
pour tous réels a, b, c tels que

Problème 3

On appelle crochet une figure constituée de six carrés unité disposés comme ci-dessous :

$\includegraphics{sujets_04.3}$

noindent ou toute figure obtenue à partir de celle-ci par rotations ou réflexions.
Trouver tous les rectangles de taille $m \times n$ vérifiant :
un tel rectangle est recouvert pas des crochets sans trou et sans chevauchement ; aucun crochet ne sort du rectangle

Problème 4

Soit $n \geq 3$ un entier. Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels strictement positifs tels que :
$n^2 + 1 > (t_1 + \ldots + t_n)\left(\frac 1{t_1} + \ldots + \frac 1{t_n} \right)$

Montrer que , , sont les longueurs des côtés d'un triangle pour tous i, j, k tels que $1 \leq i < j < k \leq n$ .

Problème 5

Dans un quadrilatère convexe ABCD la diagonale BD n'est, ni la bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ , ni la bissectrice de l'angle $\widehat{CDA}$ . Un point P est intérieur à ABCD et vérifie $\widehat{PBC}=\widehat{DBA}$ et $\quad \widehat{PDC} = \widehat{BDA}$ .
Montrer que le quadrilatère ABCD est inscriptible si et seulement si

Problème 6

Un entier positif est dit alternant si deux chiffres consécutifs quelconques de son écriture décimale ont des parités différentes. Trouver tous les entiers strictement positifs n dont un multiple est alternant.

16ème CHAMPIONNAT INTERNATIONAL DES JEUX MATHEMATIQUES ET LOGIQUES
1/4 DE FINALE INDIVIDUELS 2002                          haut du page

DEBUT CATEGORIE CE

Question 1: Les carrés

Comptez tous les carrés de la figure ci-dessus.

Question 2: Le carrefour

Audrey arrive à un carrefour où elle peut lire les deux indications suivantes: "Mathville 88km" et "Calculcity 40km". Quelle est la distance entre Mathville et Calculcity, au maximum?

DEBUT CATEGORIE CM

Question 3: Le cube incomplet

Mathias voulait construire un grand cube de 5x5x5 petits cubes. Il n'a pas pu le terminer. Combien de petits cubes lui manquait-il?

Question 4: Visite éclair au musée

Le plan de ce musée indique le nombre de tableaux exposés dans chacune des douze salles. Mathias n'a le temps de visiter que six salles et il veut voir le plus grand nombre possible de tableaux. Dessinez son trajet.

DEBUT CATEGORIE C1

Question 5: La tablette de Mathilde

Mathilde a une tablette de chocolat constituée de 5x8 carrés. A chaque fois qu'elle rencontre une amie, elle lui offre du chocolat en cassant une rangée horizontale ou verticale du reste de la tablette. A combien d'amies, au maximum, peut-elle offrir du chocolat, si elle se garde le dernier carré?

FIN CATEGORIE CE

Question 6: Les bougies

Les bougies d'Alain et de Béatrice ont la même taille. Celles de Béatrice et Claire ont la même couleur. Celles de Claire et Daniel n'ont pas la même taille. Enfin, celle de Daniel et d'Alain n'ont pas la même couleur. Quelle est la bougie d'Elodie?

DEBUT CATEGORIES C2, L1, GP, L2, HC

Question 7: La ficelle de Ludo

Ludo a une ficelle sur laquelle il a fait trois noeuds A, B et C. Le morceau de ficelle AB correspond à un quinzième de la longueur totale de la ficelle et AC à un sixième. S'il enroule le morceau AB autour d'un tronc d'arbre, Ludo fait exactement deux tours. Combien de tours Ludo peut-il effectuer sur le même tronc avec BC?

Question 8: Le plan du musée

Ce musée expose dans neuf salles. La salle Braque (B) est indiquée. On trouve des cartes postales dans la salle Ernst. De la salle Van Gogh (V), on peut se rendre directement dans les salles Picasso (P), Cézanne (C) et Kandinski (K). De la salle Kandinski, on peut se rendre directement dans les salles Braque, Matisse (M) et Renoir (R). De la salle Dali (D), on ne peut pas se rendre directement dans la salle Braque. De la salle Matisse (M), on peut se rendre directement dans les salles Picasso et Dali. Complétez le plan à l'aide des initiales des peintres.

FIN CATEGORIE CM

Question 9: Février palindrome

On écrit les dates sous la forme "jjmmaaaa" (par exemple 01092001 pour le 1er septembre 2001). Le 20 février 2002 s'écrira 20022002. Un tel nombre, qui se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche, est un nombre palindrome. Quelle sera la date palindrome suivante?

Question 10: Les maisons amies

Ma rue comprend exactement 99 maisons numérotées de 1 à 99, les numéros pairs étant situés d'un côté et les impairs de l'autre. Il se trouve que lorsque deux maisons sont numérotées à l'aide de numéros à deux chiffres utilisant les deux mêmes chiffres dans un ordre différent, et que la différence entre les deux numéros (le plus grand moins le plus petit) est égale à 45, alors les familles qui habitent ces maisons sont amies. Combien y a-t-il de paires de familles amies dans ma rue, au minimum?

Question 11: Bon pour un 421

Mathias et Mathilde jouent au jeu suivant. Ils ont écrit, dans cet ordre, les dix chiffres 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 et ils essaient, en intercalant entre certains chiffres, une ou plusieurs fois, un ou plusieurs des symboles +, -, x et /, d'obtenir 421. Mathilde a écrit 01+2x3-45+6x78-9=421, tandis que Mathias a trouvé 012x34-56+78-9=421.
Proposez-leur une autre solution.

FIN CATEGORIE C1

Question 12: La cible

Dans cette cible, le cercle moyen a un rayon double de celui du petit et le grand cercle a un rayon triple de celui du petit cercle. La cible a une aire totale égale a 1113 cm^2. Quelle est l'aire de la zone blanche? On pourra prendre 22/7 pour pi.

Question 13: Le parallélogramme

Mathias a devant lui un parallélogramme de papier. Il le plie selon un segment [AE] de telle sorte que D vienne en D', puis le déplie et le plie à nouveau selon [CF] de telle sorte que B vienne en B'. On constate alors que [EF] est perpendiculaire aux côtés [AB] et [DC]. De plus, on sait que AD = 10cm et AF = 5cm. Quelles est l'aire du parallélogramme? On pourra prendre, si besoin est, 1,414 pour 2^(1/2); 1,732 pour 3^(1/2) et 3,14 pour pi, et on arrondira si besoin est au mm^2 le plus proche.

FIN CATEGORIE C2

Question 14: Rectangle de hasard

Je lance deux dés à six faces, numérotées de 1 à 6. Les deux nombres obtenus sont la longueur et la largeur (en cm) d'un rectangle que je construis. Je m'aperçois alors qu'en augmentant d'un même nombre entier de cm la longueur et la largeur de ce rectangle, son aire double. Quelle est l'aire, en cm^2, du rectangle doublé?

Question 15: Le vélo sans chaine

Léa a trouvé un petit vélo auquel il manque la chaine. Le grand pédalier denté a un rayon de 21cm et la petite roue dentée un rayon de 3cm, la distance entre les deux centres étant de 36cm. Quelle est, au minimum, la longueur de la chaine que Léa doit acheter? On prendra 3,14 pour pi et 1,732 pour 3^(1/2). On arrondira au mm le plus proche.

Question 16: Le retour de Pent'X

Pour que Pent'X puisse loger dans une maison, on doit pouvoir l'y poser de telle façon que ses contours coïncident avec les contours des petits carrés de la maison, sans qu'il recouvre un petit carré grisé.
Il suffit de griser 4 cases d'une grille à 5 lignes et 6 colonnes pour qu'elle devienne "inhabitable" par Pent'X, comme le rappellent les deux exemples ci-dessus.
Mais combien existe-t-il de façons différentes (y compris les deux précédentes) de griser ainsi 4 cases pour qu'elle devienne inhabitable par Pent'X? Des grilles identiques par symétrie ou retournement seront comptées pour une seule.

FIN CATEGORIE L1, GP

Question 17: Le polygone mystérieux

Ludo vient de calculer le côté d'un polygone régulier à douze côtés (un dodécagone) inscrit dans un cercle de rayon 1cm. Il a trouvé [2-3^(1/2)]^(1/2) cm. Papy Georges, qui passait par là, lui indique qu'un polygone régulier inscrit dans le même cercle a un côté mesurant, en cm:

Combien ce polygone compte-t-il de côtés?

Question 18: Le terrain du Père C. Cussion

Charles Cussion possède un terrain triangulaire sur lequel se trouve une mare parfaitement circulaire et tangente aux trois côtés du terrain, de diamètre 42m. Charles clôt entièrement son terrain et remarque qu'un des points de tangence de la mare partage le côté correspondant du triangle en deux segments de longueurs respectives 23m et 27m. Quelle est la longueur totale de la clôture du terrain du père C. Cussion? On donnera une réponse éventuellement arrondie au cm le plus proche.

CONCOURS GENERAL 2001

On appelle trio tout triplet de nombres réels (a,b,c) non tous nuls et vérifiant la relation:
                                                                         ab + bc + ca = 0
Lorsque a + b + c = 1 , on dit que le trio (a,b,c) est un trio réduit.
Les coordonnées sont rapportées à un repère orthonormal direct de l'espace.
Première Partie

On note C l'ensemble des points de coordonnées (a,b,c) où (a,b,c) est un trio. On note G l'ensemble des points de coordonnées (a,b,c) où (a,b,c) est un trio réduit.
On note P le plan d'équation x + y + z = 1.

Existe-t-il des trios (a,b,c) tels que a + b + c = 0 ?

Montrer que C est une réunion de droites passant par O et privées de ce point.

Montrer que G est l'intersection d'un plan et d'une sphère de centre. Quelle est la nature géométrique de G .

Donner la nature géométrique de C et l'illustrer par un croquis.

Soit L un point fixé de G . Montrer que le volume V du tétraèdre OLL'L" , où L' et L" sont deux points distincts de G et différents de L, est maximal lorsque les arêtes issues de O sont deux à deux orthogonales et déterminer alors les coordonnées de L' et L" en fonction de celles de L.

Montrer que le produit abc admet un maximum et un minimum lorsque le point de coordonnées (a,b,c) décrit G. Préciser les trios réduits réalisant ces extremums.

Deuxième Partie

Dans cette partie et les suivantes, un trio (a,b,c) est dit rationnel lorsque a , b ,et c sont des nombres rationnels. Il est dit entier lorsque a , b et c sont des entiers relatifs. Enfin un trio entier est dit primitif si a , b et c n'admettent que 1 et -1 comme diviseurs communs.

Déterminer la nature de l'ensemble H₁ des points de coordonnées (x , y , 1) tels que (x , y , 1 ) soit un trio. Montrer que le point W₁ de coordonnées (-1 , -1 , 1 ) est un centre de symétrie de H₁ . Quels sont les points de H₁ à coordonnées entières ?

Pour tout entier naturel non nul h, on note Z_h l'ensemble des trios entiers (a,b,c) tels que c = h. Déterminer Z_h pour h = 1 et h = 2.

Montrer que Z_h est un ensemble fini et exprimer le nombre N(h) de ses éléments en fonction de celui des diviseurs de h² dans Z. Monter 4 divise N(h) - 2.

Pour tout entier naturel non nul h, on note N'(h) le nombre des trios entiers (a,b,c) tels que l'un au moins des entiers a , b ou c soit égal à h. Exprimer N'(h) en fonction N(h) selon la parité de h.

Montrer qu'à tout trio entier (a,b,c) on peut associer un triplet (r , s , t ) d'entiers tels que r et s soient premiers entre eux, s positif ou nul, et tels que l'on ait:
                                           a = r(r + s)t        , b = s(r + s)t     ,      c = -rst.
Enoncer et démontrer une réciproque. Pour quels trios (a,b,c) le triplet (r , s , t ) n'est-il pas unique ?

Déterminer les triplets (r , s , t ) ainsi associés aux trios primitifs. En déduire que si (a,b,c) est un trio primitif, alors |abc| , |a + b| et |b + c| sont des carrés d'entiers.

Pour tout entier naturel non nul h, on note P(h) le nombre de trios primitifs (a,b,c) tels que c = h. Montrer que P(h) est une puissance de 2. Pour quels entiers h a-t-on P(h) = N(h) ? Expliciter une suite d'entiers (h_n) telle que la suite converge vers zéro.

Soit (a , b , 1) un trio. Montrer qu'il existe deux suites (x_n ) et (y_n) convergeant respectivement vers a et b et telles que, pour tout n , (x_n, y_n, 1 ) soit un trio rationnel.

Soit (a,b,c) un trio réduit. Montrer qu'il existe trois suites (x_n) , (y_n) et (z_n) convergeant respectivement vers a , b et c et telles que, pour tout n, (x_n , y_n , z_n) soit un trio rationnel réduit.

Troisième Partie

On note j le nombre complexe e^2ip/3 , c'est à dire .
Pour tout trio T = (a , b , c) on note = (a , c , b) ,   S(T) = a + b + c et z(T) = a + bj + cj².

Calculer le module de z(T) en fonction de S(T). Peut-on avoir z(T) = 0? Calculer le cosinus et le sinus d'un argument q de z(T) en fonction de a , b et c ?

Soit z₀ un nombre complexe non nul. Déterminer les trios T = (a , b, c) tels que z(T) = z₀ .

Etant donné deux trios T₁ et T₂, montrer qu'il existe un unique trio, noté T₁*T₂ , vérifiant
S(T₁*T₂) = S(T₁*T₂) et z(T₁*T₂) = z(T₁)z(T₂). Calculer T₁*T₂ en fonction T₁ et T₂. Que peut-on en déduire d'un argument de z(T₁*T₂)? Que peut-on en déduire d'un argument de z(T * ) ?

Si T₁ et T₂ sont réduits, en est-il de même de T₁*T₂ ? Si T₁ et T₂ sont entiers, en est-il de même de
T₁*T₂ ? Si T₁ et T₂ sont primitifs, en est-il de même de T₁*T₂ ?

Comparer les trios T₁*T₂ et T₂*T₁ , (T₁*T₂)*T₃ et T₁*(T₂*T₃) , T₁ et T₁*(1,0,0).

Etant donnés les trios T₁ et T₂, résoudre l'équation T₁*T = T₂ , où le trio T est l'inconnue.

Etant donné un trio T_n on définit une suite de trios (T_n) par T₀ = (1 , 0 , 0) et T_n₊₁ = T*T_n.
Calculer S(T_n). Etant donné un entier p, résoudre l'équation T_p = T₀ où le trio T est l'inconnue.

Quatrième Partie

On note A l'ensemble des entiers m non nuls tels qu'il existe deux entiers u , v tels que m = u² + 3 v² .
On note A' l'ensemble des nombres complexes z non nuls tels qu'il existe deux entiers u , v tels que
  . On remarquera que |z|² = u² + 3v² .
On note B l'ensemble des entiers n non nuls tels qu'il existe deux entiers r et s tels que n = r² + rs + s².

Montrer que le produit de deux éléments de A' appartient à A' , puis que le produit de deux éléments de A appartient à A.

Montrer que , si p est un nombre premier élément de A, alors p = 3 ou 3 divise p - 1.

Montrer que A = B { on pourra notamment remarquer que r² + rs + s = (r + s)² - (r + s)s + s² }.

Montrer que 4 divise les éléments pairs de A et que les quotients appartiennent à A, puis que tout élément de A est produit d'un élément impair de A par une puissance de 4.

a) Soit, s'il existe, un entier impair m = u² + 3v² tel que les entiers u et v soient premiers entre eux et qui admet un diviseur prmier p. n'appartenant à A. Montrer qu'il existe alors un plus petit élément strictement positif n₀ tel que n₀p appartienne à A. Montrer que n₀ est impair.
b) Etablir l'existence de deux entiers u' et v' inférieurs en valeur absolue à p/2 tels que p divise
(u' - u) et (v' - v). Montrer que p divise l'entier non nul u'² + 3v'² et que n₀ < p.
c) Etablir l'existence de deux entiers non nuls premiers entre eux u₀ et v₀ tels que n₀p = u₀² +3v₀²
d) Etablir l'existence de deux entiers u₁ et v₁ inférieurs en valeur absolue à n₀ / 2 tels que n₀ divise
(u₁ - u₀) et (v₁ - v₀). Montrer que n₀ divise l'entier non nul u₁² + 3v₁² que l'on notera n₀n₁.
e) En déduire qu'un tel entier n ne peut pas exister . (On pourra considérer l'entier n₀² n₁p)

Montrer que tout élément de A s'écrit m = C²p₁p₂....p_k où C est un entier naturel non ul et où les p_i sont des nombres premiers distincts éléments de A.

a) Soient p un nombre premier tel que 3 divise p-1, et K l'ensemble des triplets (x , y , z ) où les entiers x , y et z sont strictement compris entre 0 et p, et tels que p divise (xyz - 1). Montrer que K possède (p-1)² éléments, et que 3 divise le nombre d'éléments de K ne vérifiant pas x = y = z.
b) En déduire qu'il existe un entier x strictement compris entre 1 et p tel que p divise x² + x + 1, puis que p appartient à A. Décrire les éléments de A.

Soit D l'ensemble des entiers tels qu'il existe un trio d'entiers (a , b , c) vérifiant a + b + c = d et
abc 0. Montrer , grâce à la question 5) de la deuxième partie, que tout élément de D possède un diviseur premier élément de A. Réciproquement, que peut-on dire d'un entier non nul admettant un diviseur premier élément de A ?

En déduire les éléments de D compris au sens large entre 2001 et 2010

CONCOURS GENERAL 2000

                                                                  Problème
Ce problème traite des triangles dit cartésiens, c'est à dire à côtés entiers
                                            BC = a , CA = b et AB = c ,
dont l'angle en A mesure . Sauf avis contraires, ABC est supposé cartésien.
1: Notant H son orthocentre orthogonalement projeté en ( U , V , W ) sur les trois côtés,
    déterminez les nombres rationnels parmi
        AU , BV , CW , HA , HB , HC , HU , HV , HW , AW , AV , BU , BW , CV et CU.
2: Notant I son centre du cercle inscrit, J l'intersection de la bissectrice intérieure en A et des
    bissectrices extérieures en les autres sommets, et P , Q les intersections de la droite BC et
    des deux bissectrices en A , déterminez les nombres rationnels parmi
                             PC , PB , QB , QC , AI , AJ , AP et AQ .

3: On suppose désormais b et c premiers entre eux.
    Montrez que, quitte à échanger b et c , a + b - c est multiple de 3 et a - b + c ne l'est pas.

4: On pose où p et q sont des entiers premiers entre eux strictement postifs.
    On note d le pgcd de p (3 p + 2 q ) et de q (2 p + q ).
    Calculez a,b , c en fonction de p, q et d .

5: Montrez que q n'est pas multiple de 3, puis que d = 1 .

6: Déduisez-en une condition nécessire et suffisante pour qu'un triangle soit cartésien de
    côtés premiers entre eux, puis, par des remarques géométriques, une caractérisation
    analogue des triangles à côtés entiers BC = a, CA = b et AB = c premiers entre eux don't
     l'angle en A mesure radians

Exercice 1:
On dispose de b boules blanches et n boules noires, au moins de chaque, que l'on répartit entre deux urnes de façon qu'aucune d'elles ne soit vide.
On note s le nombre de boules dans la première, et r celui de ces boules qui sont blanches. L'événement considéré est le tirage d'une boule au hasard dans l'une des urnes choisie au hasard. Le but de l'exercice est de déterminer les répartitions rendant maximale la probabilité p de tirer un boule blanche.

1: Exprimez p en fonction de b , n , r et s .
2: Dans cette question, on fixe la valeur de s . Comment choisir r pour augmenter p ?
3: Résolvez l'exercice.
4: Quelles généralisations proposez-vous en augmentant les nombres de couleurs et d'urnes?

Exercice 2:
Soient A , B, C trois points deux à deux distincts de l'espace, ( A ) une sphère de centre A et de rayon r , et E l'ensemble des nombres R > 0 tels qu'il existe une sphère ( H ) de centre H et de rayon R par rapport à laquelle les points B et C sont strictement extérieurs
(c.a.d tels que HB > R ), et les points de ( A ) strictement intérieurs.

1: Dans cette question, B et C sont alignés avec A et strictement extérieurs à ( A ).
    Montrez que E est non vide et majoré.
    Calculez le plus petit de ses majarants en fonction des données.

2: Déterminez une condition nécessaire et suffisante pour E soit non vide et majoré.

3: Calculez, lorsqu'il existe, le plus petit des majorants de E .

Olympiades 1998

Exercice 1:

Dans un quadrilatère convexe ABCD, les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires et les côtés (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. Les médiatrices des [AB] et [DC] se coupent en P, à l'intérieur de ABCD.

Montrez que les points A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si les aires des triangles ABP et CDP sont égales.

Exercice 2:

Dans un concours, il y a a concurrents et b juges (b est impair et supérieur ou égal à 3). Chaque juge attribut à chaque participant la mention " admis " ou " recalé ".

Soit k un nombre tel que les mentions attribuées par deux juges quelconques coïncident au plus pour k participants (quels que soient les deux juges).

Montrez que .

Correction Exercice 2 Olympiades IMO 1998

Appelons N le nombre de triplets (juge, juge ,concurrent) pour lesquels les deux juges donnent la même appréciation sur le candidat.
Il y a b(b-1)/2 couples de juges distincts au total et au plus k candidats ayant la même appréciation pour deux juges, donc, on a:
                                                     N < k.b.(b-1).
Si X est un candidat fixé, et estimons le nombre de pairs de juges donnant la même appréciation sur X.
Supposons que n juges admettent X. Alors on a n(n-1)/2 couples de juges admettant X et
(b-n)(b-n-1)/2 qui refusent X.
Donc, au total, n(n-1)/2+(b-n)(b-n-1)/2 couples qui ont la même appréciation sur X.
Mais
[n(n-1) + (b-n)(b-n-1)]/2 = [2n²-2bn+b²-b]/2
                                       = [n-b/2]² - b²/4-b/2
                                        > b²/4 - b/2 = (b-1)²/4-1/4.
Comme b est impair, (b-1)²/4 est entier.
Donc, le nombre de couples de juges ayant la même appréciation sur X est au moins ègal à
                                                               (b-1)²/4.
Donc, N > a(b-1)²/4.

Des deux inégalités : N < kb   et    N > a(b-1)²/4 , on en déduit que :

En fait, c'est une inégalité assez "large" que l'on obtient!!!

Exercice 3:

Pour tout entier strictement positif n, on définit d(n) comme le nombre de diviseurs strictement positifs de n (1 et n compris).

Déterminez l'ensemble des entiers strictement positifs k pour lesquels il existe n tel que .

Exercice 4:

Trouver tous les couples (a, b) d'entiers strictement positifs tels que ab² + b + 7 divise a²b + a + b.

Exercice 5:

Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Ce cercle est tangent aux côtés [BC], [CA] et [AB] du triangle respectivement en les points K, L et M. La droite parallèle à (MK) passant par B coupe (LM) et (LK) respectivement en R et en S.

Prouvez que est aigu.

Exercice 6:

On considère toutes les applications f de l'ensemble de tous les entiers strictement positifs dans lui-même vérifiant f(t²f(s)) = sf(t)² quels que soient s et t de .

Déterminez la plus petite valeur possible de f(1998).